Kelly 法則投資實戰筆記 - 半凱利，以及 SpaceX 怎麼分批買

僅為紀錄非投資建議

投資有風險, 買賣請小心

投資は自己責任でお願いします

底下文章是和 Grok Bot 討論後, Grok Bot 寫的;

有感覺似乎寫得比以前好一點點? (或是錯覺 ^_^ )

SpaceX 這邊投的資金不多, 主要是實驗性質，

先前也曾被 AI 笑說這麼一點不用賣了 ^_^ 

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( 圖 by zImage-Turbo ) 

前兩篇分別用 Kelly 法則看過微軟值不值得買，以及DCI 雙元投資划不划算。這一篇想把公式講慢一點：凱利到底在問什麼、為什麼實務上常改成半凱利，以及現在的研究對「分幾次買、每次跌多少再加碼」究竟怎麼說 。

最後只用 SpaceX 當例子，寫一套事先掛好的限價計畫。這不是算出來的唯一正確買法，而是半凱利在單一股票上比較站得住的操作方式。

僅為紀錄，非正式投資建議。投資有風險，買賣請小心。

凱利法則在問什麼

1956 年，貝爾實驗室的 Kelly 寫了一篇現在常被投資人引用的論文。他關心的不是明天會漲還是會跌，而是：如果一場有優勢的賭局可以反覆再玩、贏來的錢可以再投下注，怎樣分配資金，長期財富才會成長得最快。

後來 Thorp 把實務公式寫清楚。若贏的時候淨賠率是 b、獲勝機率是 p、失敗機率是 q＝1−p，最適比例是：

f* ＝（b × p − q）／ b

也就是「優勢除以賠率」。股價比較像連續波動時，則接近：

f* ＝（m − r）／ σ²

這裡的 m 是你估計的期望報酬，r 是無風險利率，σ 是波動。分子是優勢，分母是風險的平方。

微軟那一篇裡，兩種算法都用過：一種把未來想成「漲到目標價或跌一段」，一種直接用期望報酬和波動。DCI 那一篇則是先算期望值是正是負，再談該不該做。兩邊其實都回到同一件事：先確認有沒有優勢，再決定該押總資金的多少。

凱利不管你當初買多少錢。它的輸入是「現在的」優勢和風險。價格跌了，不自動等於該加碼；只有當你認為公司值的錢沒變、更低的買價讓期望報酬上升時，公式才會支持你把部位加大。若下跌是因為前景變差，期望報酬應下修，或波動應上修，最適比例反而該縮小，甚至歸零。

為什麼實務上常改成半凱利

全凱利追求的是長期成長最快。聽起來很美，用起來卻很兇。均值只要估得樂觀一點，公式算出來的部位就會偏大；而估計誤差裡，最傷的往往就是這個均值。

連續近似下，長期成長率可以看成一條開口向下的拋物線：

g(f) ＝ r ＋ f(m − r) − ½σ²f²

最高點就在全凱利。若只押全凱利的 c 倍，高出無風險利率的那一段成長，會變成最大值的（2c − c²）：

押注相對全凱利	超額成長還留下多少	意思
全部持有現金（c＝0）	0	只拿到無風險利率
半凱利（c＝0.5）	四分之三	少押一半，只犧牲約四分之一的超額成長
全凱利（c＝1）	全部	長期成長最快，波動與回撤也最大
1.5 倍凱利	四分之三	和半凱利一樣快，路徑卻晃得多
兩倍凱利（c＝2）	0	長期成長率掉回無風險利率
超過兩倍	變成負的	長期財富往下複利，可能接近毀損

關鍵不在「半凱利比較會賺」，而在這條線兩邊不對稱。半凱利和 1.5 倍凱利的長期成長率相同，都大約留下最大值的四分之三，但 1.5 倍凱利會震盪得厲害得多。所以一旦不確定自己有沒有估對期望報酬，應該往少押的那邊偏，而不是往多押的那邊偏。

剛好押到兩倍凱利，等於辛苦承擔了股票的全部波動，長期卻只換到跟持有現金差不多的結果。再押更兇，連這點都保不住。2020 年 Carta 與 Conversano 的模擬也看到類似現象：過度押注（他們看的是三倍凱利）短線就可能把本金傷得很重；全凱利的好處，往往要極長的時間才明顯。

回撤是同一件事的另一面。Thorp 在連續近似下指出：財富「有生之年」曾經跌到目前的 x 倍，全凱利的機率大約是 x，半凱利大約是 x³。用兩個整數就夠用：

• 曾經跌到一半：全凱利約 50%，半凱利約 12.5%。
• 曾經跌到四分之一：全凱利約 25%，半凱利約 1.6%。

半凱利不是把風險砍半，而是把這種深回撤的機率從線性變成三次方。MacLean、Thorp 與 Ziemba 在 2010 年總結過：凱利的優點是最大化長期成長，公式意義上也不會把自己賭到破產；缺點是短線極波動，而且均值估錯特別致命。半凱利等於把全凱利部位和現金各放一半——主動少押，換較小的回撤，卻仍留下大部分長期成長。

還有一件事必須說實話：我們很少真的能算出某一檔股票的精確全凱利比例。期望報酬和波動都是估計，一樂觀，全凱利就會變成過度下注。半凱利比較像一種態度：承認會估錯，所以第一筆不加滿，後面的錢留著，等價格或資訊更新再決定。

現今研究怎麼說「最佳策略」

若問題是「低於自己的成本或第一次買價約一成，就加第一批」以及「分成三批，是不是比一次、兩次、四次或五次更好」，目前的研究並沒有頒出金牌。

我沒有找到論文證明：第一批加碼應該剛好低於個人均價 10%，也沒有論文證明最適批數剛好是三，更沒有一張公認的「每跌一成加一檔、越跌買越多」價差表。相對自己成本來加碼，文獻裡反而更常被放在沉沒成本旁邊討論——已經付出的買價，不該決定下一步。同樣跌 10%，有時是錯價，有時是基本面變了；只盯著均價，分不出這兩種。

研究最多、也最常被更新的，其實是另一個問題：手上已經有一筆要投入股市的錢，該一次買進，還是按日曆慢慢分批？

Vanguard 在 2012 年與 2023 年的更新都得到相近的圖像：一次投入大約在三分之二的情境，勝過常見的定期分批。2023 年那份報告裡，全球股票指數從 1976 年到 2022 年、分三個月投入，一次投入的勝率約 68%；以 60/40 組合來看，一年後一次投入的平均財富約高出 1.8%。Israelov 與 Lo 在 2023 年的模擬（假設報酬 7%、波動 16%、一年內按交易日分批）也顯示：一次投入約在 67% 的情境期末較佳，平均大約高 4%。分批拖得 越久，一次投入相對勝出的機會通常越大。

這不是要宣布「永遠該一次買滿」。一次投入勝出，主要是因為股市長期有正報酬，現金放著有機會成本。1979 年 Constantinides 也寫過：在標準設定下，固定時程的定期定額，往往不如能依新資訊調整的策略。

比較接近「加買單一股票」的，是 Brennan、Li 與 Torous 在 2005 年的研究。他們發現：若你已經持有市場組合，再加買單一股票，而且價格有均值回歸，把這筆加碼拉成約 36 到 48 個月的日曆型分批，有時比一次買那一檔更好。可是那是按時間分散，不是「每跌 10% 一批」，也不能讀成「最適就是三批」。

把這些放在一起，我覺得比較站得住的做法是：

• 用半凱利看待總部位：估計會錯，所以不要把子彈一次打完。
• 加碼看的是現在的優勢和風險，不是歷史成本。價格更便宜、而且買進理由沒變，才加；理由變了，再便宜也不加。
• 文獻沒有最適的逢低價差表。實務上可以事先寫好少許幾檔限價，讓每一檔都只動用一部分現金，並且保留「到了也可以不買」的權利。
• 這和按日曆把同一筆錢拖很久，不是同一件事。後者在期望上常常比較吃虧。現金也不該永遠不進場，否則成長率會慢慢靠近只持有現金。

兩到三檔預先寫好的限價，看起來恰到好處，不是因為數學證明 n＝3，而是它同時做了三件事：先參與一部分、再跌一截還能加、最後一批留給真正大幅度的下跌。四次、五次不是不行，但若只是把同一個決定切得更碎，又遲遲不上場，機會成本會上升。

以 SpaceX 為例

我長期看好 SpaceX，可是不知道短線還會跌多深，也不該假裝自己已經精確算出它的全凱利比例。於是暫停了固定每月買 5 股的做法——那比較像把資金按日曆攤進去。改成：跌破原來的均價之後，用事先寫好的限價，少量分批買。

原來的均價大約是 130.75 美元。先在 125 美元買了 1 股，比均價大約低 4%，只是很小的一步。後面三檔是：

限價	股數	大約金額	相對原均價	這一批在做什麼
125 美元	1 股	約 125 美元	約 −4%	已買；先走一小步
115 美元	3 股	約 345 美元	約 −12%	第一個比較有感的加碼
100 美元	4 股	約 400 美元	約 −24%	再跌一截才加
85 美元	5 股	約 425 美元	約 −35%	留給更深的下跌

115 美元大約比 130.75 美元低 12%，接近常聽到的「再低約一成再加第一批」。它好記、好掛單，也能逼自己先留現金；但它不是凱利公式解出來的公允價格。一成是方便的整數，不是推導結果。

這一段為 SpaceX 預留的加碼預算大約 1,400 美元。125 那一股買完之後，後面三檔合計約 1,170 美元。115 美元買 3 股，大約 345 美元，只動用剩餘規劃的一部分，不是把剩下的錢一次打完。

若 115 美元出現時，把剩餘約 1,170 美元全部買進，大約能買 10 股，是計畫 3 股的三倍多。那就比較像過度下注：在優勢還沒重新估過、也不知道是不是底部的時候，把後面兩檔的彈藥提前用掉。半凱利在這裡的用 法很具體——115 先買 3 股，100 與 85 仍留著；而且每一檔成交前，都還可以因為買進理由改變而不買。

表上的股數略為增加：3 股、4 股、再來 5 股。這只有在「長期價值判斷沒變、更低的價格代表期望報酬上升」時，才和凱利相容。越跌買越多，並不是因為已經持有、現在虧著，就該繼續加。已經付出的成本是沉沒成 本。若下跌其實帶來新資訊，例如主要業務、財務或合約出現重大不利變化，期望報酬應下修，這時即使跌得比 12% 更多，也應該停手。

所以，若要說 SpaceX 目前比較站得住的購買計畫，我會這樣寫：

1. 不再用固定每月買 5 股來攤平時間，改用事先寫好的限價。
2. 下一檔是 115 美元買 3 股，再來是 100 美元買 4 股、85 美元買 5 股。
3. 每一檔都只是預算的一部分；不要在第一個便宜價把剩餘現金一次用完。
4. 加碼前先問理由還在不在。理由還在、價格更便宜，才加；理由變了就暫停。
5. 單一股票的下注，不要大到讓一次判斷錯誤就傷到整桶資金。

這不是文獻證明過的「最佳解」，也不是建議別人照同一組價位去買 SpaceX。價位本身仍是啟發式。比較經得起檢討的，是半凱利那一層紀律：少押一點、留下後面的選擇，並且讓成本只當尺子，不當信仰。

寫完之後

凱利給的是比例，半凱利給的是紀律，限價表給的是耐心。公式不會告訴你 115 這個數字從天上掉下來；它只提醒你，在不確定的時候，少押的代價通常小於多押。

下次若又看到自己的持股跌了約一成，也許可以先問一句：我現在想加碼，是因為優勢變大了，還是因為我記得自己當初買多少錢？

參考資料

• 先前整理：Kelly 法則投資實戰筆記 - 微軟是否值得購買；Kelly 法則投資實戰筆記 - DCI 雙元投資 JPY/USD
• Kelly, J. L. Jr. (1956). A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal. PDF
• Thorp, E. O. (2006). The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market. PDF
• MacLean, Thorp, Ziemba (2010). Long-term capital growth: the good and bad properties of the Kelly and fractional Kelly capital growth criteria. Quantitative Finance. PDF
• Constantinides (1979). A Note on the Suboptimality of Dollar-Cost Averaging as an Investment Policy. JFQA.
• Shtekhman, Tasopoulos, Wimmer (2012). Dollar-cost averaging just means taking risk later. Vanguard.
• Finlay & Zorn (2023). Cost averaging: Invest now or temporarily hold your cash? Vanguard. PDF
• Israelov & Lo (2023). Time In vs. Timing the Market. NDVR. PDF
• Brennan, Li, Torous (2005). Dollar Cost Averaging. Review of Finance. PDF
• Arkes & Blumer (1985). The Psychology of Sunk Cost.
• Carta & Conversano (2020). Practical Implementation of the Kelly Criterion. Frontiers in Applied Mathematics and Statistics. 全文